УДК 368:338.5

 

 

Р. А. Абдураманов,

аспирант, Национальный технический университет Украины «КПИ»

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАХОВЫХ НЕТТО-ПРЕМИЙ ПО ВИДУ ОСАГО, С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

 

MODELING INSURANCE NET-PREMIUMS FOR MTPL, USING THE CLASSICAL APPROACHES

 

В данной статье описаны практические аспекты применения классических методов оценивания страховых нетто-премий на примере ОСАГО. С помощью построенной модели были оценены значения базовой страховой нетто-премии и системы корректирующих коэффициентов.

 

This article describes the practical aspects of the classical approaches of estimating of net-premium for MTPL. With the help of the model were assessed values of the net-premium and correction factors system.

 

Ключевые слова:нетто-премия, рисковая нагрузка, система корректирующих коэффициентов.

 

 

Вступление.Страховая компания, заключая договор страхования обязуется взамен оговоренной и заранее подлежащей уплате страховой премии, предоставить страхователю при наступлении указанных в договоре страховых событий частичную или полную денежную компенсацию нанесенного событием экономического ущерба [1,4]. Иными словами, страховая компания принимает на себя обязательства по выплатам случайного размера в обмен на фиксированную премию, которые, в большинстве случаев зависит от характера и тяжести страхового события.

В то время как страхователь благодаря страхованию несет строго плановые убытки, страховая компания несет расходы по убыткам не планомерны, а случайны. По этому, по крайней мере, для относительно точного планирования требуется как можно большее число независимых и схожих по размеру рисков, договор страхования. Фонд подписанных премий в размере ожидаемой суммы убытков (согласно центральному предельному закону) дает всего лишь 50% гарантии.  И для увеличения гарантийной вероятности до 95% страховой компании необходим дополнительный гарантийный капитал [2].

Портфель рисков, страховой компании, как правило неоднороден, по этому целесообразноразделить риски на более однородные под портфели в зависимости от факторов риска, которые в свою очередь влияют на величину страхового убытка и частота его наступления в каждом под портфеле по разному. Для большей сбалансированности портфеля в зависимости от факторов риска требуется построение системы корректирующих коэффициентов, которая призвана учесть неоднородность в под портфелях.

И так, задача страховой компании заключается в достижении как можно большей сбалансированности портфеля, за счет построения правильной системы корректирующих коэффициентов, а так же обеспечения как можно большего гарантийного капитала.

Исследованию вопросов системы ценообразования в страхованиипосвящены научные труды как отечественных, так и зарубежных ученых, в частности: В.Д. Базилевич, А.И. Черняк, С. С. Осадець, А. О. Таркуцяк, А.А. Кудрявцев, Т.А. Яковлева, О.Ю. Шевченко, Т. Мак, П. МакКаллаф, П. Нелдера, Є. Кравець, М. Дену, А. Кукуш, М. Пупашенко, Л. Стефан, Дж. Дхайне, Р. Коенкер и других ученных.

 

Постановка задачи. Целью статьи является построение модели оценивания страховой нетто-премии и системы корректирующих коэффициентовна примереобязательного страхования гражданско-правовой ответственности владельцев наземных транспортных средств на страховом рынке Украины.

Результаты исследования.Страхование основывается на так называемом коллективном балансе – объединение в коллектив (портфель) нескольких рисков (полисов), что имеет более выгодные распределение убытка и размер премии, чем каждый отдельный риск. Это объясняется тем, что в коллективе благоприятные и неблагоприятные процессы убытков отдельных рисков могут взаимно компенсироваться, в сравнении с индивидуальным ожиданием [3]. Коллективный баланс подтверждается и законом больших чисел. В «слабой» формулировке закон гласит, что средние арифметические  сходятся по вероятности к математическому ожиданию, которое в свою очередь можно интерпретировать как справедливую цену за принятие случайных расходов по риску. При этом предполагается, что риски  независимые и одинаково распределенные.

На практике, лишь небольшое число рисков обнаруживают сходство, позволяющее считать их одинаково распределенными. Хотя, даже в идеальной ситуации независимых, одинаково распределенных рисков сохраняются риск случайности. Отсюда возникает потребность страховой компании в значительно большем капитале, чем оцененное математическое ожидание совокупного убытка, на возможный случай превышения фактиче­ским убытком своего оцененного значения.

Пусть, функция  описывает распределение совокупного годового убытка,  математическое ожидание совокупного убытка, а  совокупный гарантированный капитал. Необходимый размер совокупного гарантированного капитала  можно определить задав допустимый уровень вероятности неплатежеспособности из равенства . Пусть  – заданная фондовым рынком норма прибыли на капитал , а  – «безрисковая» процентная ставка.Тогда выполняется неравенство , так как больший риск, разумеется, должен воз­награждаться большим доходом. Соответствующие затраты на привлечение необходимого гарантированного капитала поцене ставки прибыли равной , следует включать в нетто-премию, помимо математического ожидания совокупного убытка, в размере .Эта компонента пре­мии называется гарантийной или рисковой надбавкой. Гарантийная — потому что поддерживает капитал, обеспечивающий надежность страховой компании, а рисковая — потому что отражает потенциальное увеличение дохода инвес­тора в сравнении с безрисковым вложением капитала.Без детального рассмотрения отметим, что в качестве корректного правила деления рисковой надбавки между отдельными рисками мы будем использовать принцип ковариации.

В качестве модели для оценки функции  описывающая распределение совокупного годового убытка воспользуемся моделью индивидуального риска. В модели индивидуального риска распределение совокупного годового убытка группы рисков получается в результате свертки распределений годовых совокупных убытков отдельных рисков. Она особенно важна для моделирования математических ожиданий совокупных убытков одновременно нескольких групп рисков. В данной работе автор располагал данными в разрезе каждого полиса, что значимо упрощает задачу оценки совокупного убытка[1].

Для построения адекватной модели распределения совокупного убытка , нам нужно проанализировать распределений совокупных убытков  отдельных рисков . Нам известно, что основная масса вероятностей сосредоточена в точке , ведь практически во всех видах рискового страхования подавляющее большинство рисков (в отдельно взятом году) не порождает убытков. Значит, распределение случайной величины  не имеет непрерывной плотности и в частности, далеко от нормального распределения. С ростом числа независимых и одинаково распределенных рисков стандартизованный совокупный убыток  согласно центральному предельному закону, действительно становится, все более похож на нормально распределенную величину (в смысле сходимости распределения). Но, ввиду крайней несимметричности распределения величины , в большинстве групп рисков этот закон срабатывает только при очень большом числе рисков. В последующем процессе свертки неточность аппроксимации довольно быстро нивелируется и достигаются очень близкие к реальности модели совокупного убытка (по крайней мере, для основной массы вероятностей).

В качестве распределениядля модели индивидуального риска воспользуемся гамма-распределением с плотностью

.

Поскольку для нас важно, чтобы аппроксимирующее распределение величины имело как можно больший вероятностный вес вблизи нулевой точки, мы принимаем в рассмотрение только гамма-распределение с параметром формы .

Для однородной группы рисков (что выполняется в нашем случае поскольку риск не зависит от страховой суммы, и портфель можно разделить на под портфели в разрезе факторов риска, что предполагает их однородность) аппроксимируем неизвестное распределение величины  гамма-распределением с параметрами  и , где  и . Параметры распределения можно найти из условий равенства соответствующих теоретических и эмпирических моментов. Тогда в результате -кратная свертки гамма-распределений с параметрами  и  получим распределение совокупного убытка группы  независимых рисков . -кратная свертка гамма-распределений снова дает гамма-распределение, но с параметром среднего  и параметром формы . Переход от совокупного убытка  к нормированной на объем величине  (убыток на один полисо-год) не изменяет тип распределения:  будет иметь гамма-распределение с параметром среднего  и параметром формы .

Используя приведенные выше алгоритм, оценим параметры Гамма распределения совокупного годового убытка приведенные к таблице 1.

 

Таблица 1.

Параметры теоретической функции Гамма распределения

 

Оцененная сумма годового убытка является ожидаемой величиной убытка, и как отмечалось ранее реальная величина совокупного убытка может превысить прогнозируемую сумму совокупного убытка, так называемы риск случайности. Учитывая важность ОСАГО, в первую очередь как инструмент социальной защиты, вероятность покрытия будущих убытков должна быть хотя бы на уровне 95%. Таким образом, задав допустимый уровень вероятности неплатежеспособности, дополнительный капитал с который нужно привлечь составляет 1 668 мил.грн.

На сегодняшний день, по экспертным оценкам, на финансовом рынке рисковая ставка по капиталу в среднем на 5 пунктов превышает безрисковую ставку. Если данную оценку взять как оценку затрат  на привлечение необходимого гарантированного капитала , то стоимость привлечения необходимого капитала равна 83 мил.грн. Отнеся совокупный годовой убыток и стоимость привлечения дополнительного гарантированного капитала на один полисо-год, получим оценку базовой нетто-премии полиса равна 200 грн., таблица 2.

 

Таблица 2.

Расчет страховой нетто-премии на один полисо-год

 

Теперь перейдем к оценке системы корректирующих коэффициентов. В Украине законодательно установлена система корректирующих коэффициентов [5], изменения которой возможна только законодательнымпутем. В существовавшей (до 28 августа 2010 года) на момент проведения исследования тарифная сетка состояла из 6 факторов  риска влияющего на размер тарифа: тип полиса (3 класса), тип транспортного средство (12 классов с учетом объема двигателя, грузоподъемности и пасажиромест), территории преобладающего использования транспортного средства (5 классов с учетом численности населения), сферы использования транспортного средства (2 класса), водительский стаж лиц, ответственность которыхзастрахована по договору (4 класса, применяется только ко второму и третьему типу полисов), количество указанных в договоре лиц (3 класса, применяется только к третьему типу полисов). Еще 6 факторов влияющие на тариф, в том числе и коэффициент бонус-малус, больше играют роль опционную в тарифной сетке ОСАГО, и на прямую не влияют на риск. Итого совокупность рисков страхования автогражданской ответственности делилась на 1800 тарифных классов (ячейки).

Перечисленные факторы риска можно условно разделить на две группы – это факторы риска не зависящие от страхователя на прямую (тип транспортного средство и территории преобладающего использования транспортного средства) и факторы риска которые зависят на прямую от страхователя (сферы использования транспортного средства, водительский стаж лиц, ответственность которых застрахована по договору и количество указанных в договоре лиц). В модели предполагается, что описанные группы факторов рисков независимые между собой, соответственно мы можем отдельно для каждой группы факторов риска построить свою систему корректирующих коэффициентов с дальнейшим объединением в единую систему.

Тарифную сетку можно представить в виде матричной структуры, после чего, определим для каждого класса значений каждого тарифного фактора маргинальный множитель таким образом, чтобы тариф в каждом тарифном классе рассчитывался как произведение соответствующих маргинальных множителей. В случае двух тарифных факторов (например, первая группа факторов риска) и  классами получим схему, представленную в таблице 3.

Таблица 3.

Схема с маргинальными множителями в случае двукратной классификации тарифов

 

Через  мы будем обозначать маргинальные множители (слагаемые), относящиеся, соответственно, к -му значению фактора  и -му значению фактора . С помощью маргинальных параметров потребная премия  для рисков ячейки  вычисляется по формуле

 

 

Так как параметры  предполагается рассчитывать на основании статистики всей строки или, соответственно, всего столбца, премия ячейки  будет учитывать историю всех ячеек, принадлежащих тому же классу значений хотя бы по одному тарифному фактору. При этом наблюдается приятный «побочный эффект»: вместо  значений  для заполнения тарифной сетки становится достаточно всего  значений .

Для каждого тарифного класса , известны совокупный убыток  (складывающийся из данных одного года или нескольких лет; первый случай особенно важен с точки зрения актуальности тарифа), объем  (число полисо-лет) и, следовательно, нормированный на объем совокупный убыток .

Теперь, задача заключается в оценке тарифных множителей , максимально приближающие своим произведением  значение  в каждой ячейке .

Существует ряд методов для оценки маргинальных множителей, такие как: метод маргинальных средних, метод Бейли-Саймона, метод маргинальных сумм, метод на основе Гамма-распределения. В данной статье воспользуемся методом на основе Гамма-распределения, имеющие ряд преимуществ по сравнению с остальными методами.

Метод на основе Гамма-распределения относится так называемым параметрическим моделям, и допускает проверку гипотезы согласия, а также сравнение аддитивной (не рассматривается в данной диссертации) и мультипликативной форм разложения потребной премии. Кроме того, применение метода максимального правдоподобия обеспечивает состоятельность и асимптотическую эффективность оценок маргинальных параметров  (оценки сходятся к параметрам и имеют асимптотически минимальные дисперсии), а также возможность расчета (асимптотической) точности оценок.

Предположим, что совокупный убыток  ячейки  при известном объеме  имеет гамма-распределение с математическим ожиданием

 

  

и параметром формы  (дисперсия равна . Так как данную модель мы уже рассматривали выше, здесь мы сразу представили математическое ожидание  нормированной на объем величины убытка в мультипликативной форме  с маргинальными параметрами . Параметр  будем считать равным для всех ячеек – если бы для каждой ячейки мы предположили индивидуальный параметр , то при наличии одного наблюдения  на ячейку модель оказалась бы чрезмерно параметризована. В этой модели  трактуется как сумма  независимых случайных величин, имеющих одинаковое гамма-распределение с математическим ожиданием  и параметром формы .

Функция правдоподобия (предполагаемых независимыми) наблюдений  имеет вид

 

 

 Оценки максимального правдоподобия параметров  и  максимизируют функцию  и удовлетворяют уравнениям

 

 

Как видим, для расчета оценок максимального правдоподобия  не требуется условие . Уравнения приводятся к виду

 

 

Последняя система, решается попеременным расчетом  на основании стартовых значений . Итерация быстро сходится.

Оценку максимального правдоподобия а находим из уравнения

 

 

где  – дигамма-функция. В этой формуле использовано равенство

 

 

получаемое в результате суммирования уравнений правдоподобия относительно . Уравнение правдоподобия относительно  решается методом последовательных приближений. В качестве стартового значения может служить оценка по методу моментов

 

 

Оценки значений системы корректирующих коэффициентов, полученные по методу на основе Гамма-распределения, приведены  таблице 4 для первой группы факторов риска и в таблице 5 для второй группы факторов риска.

 

Таблица 4.

Оценка маргинальных множителей первой группы факторов риска

 

Таблица 5.

Оценка маргинальных множителей второй группы факторов риска

               

И так, мы получили оценку значения базового нетто-платежа, без учета расходов на ведения дел, и оценку значений системы корректирующих коэффициентов. Теперь приведем сравнительный анализ существующего значения базового платежа (за вычетом расходов на ведения дел) и значений системы корректирующих коэффициентов и полученных оценок.

В таблице 6. приведены расчетные значения страховой нетто-премии в разрезе территории преобладающего использования транспортного средства для страхователя физического лица, владеющего легковым автомобилем до 1600 кубических сантиметров и покупающего первый тип полиса ОСАГО для действующей и расчетной системы ценообразования.

 

Таблица 6.

Расчетные значения страховой нетто-премии

 

Как мы видим из таблицы, текущие тарифы значимо недооценены. В основном это продиктовано значимой недооценкой значения коэффициента для сегмента легковым автомобилем до 1600 кубических сантиметров. Так же легко заметить и разницу недооценки по территории преобладающего использования транспортного средства, которая более чем в два раза для сегмента Киев и в полтора раз для населенных пунктов с населением меньше 100 тысяч человек. Данный результат, говорит о том, что страхователи владеющие легковыми автомобилями до 1600 кубических сантиметров недоплачивают нетто-премию относительно риска передаваемого Доля таких страхователей в портфеле ОСАГО порядка 37%, при прочих равных.

В целом, можно сделать выводы о том, что существующая система корректирующих коэффициентов несбалансированная и требует значимой корректировки. Так же стоит отметить, что сравнение существующей системы ценообразования проводилось с расчетными значениями, которые отвечали результатам построенной математической модели. На практике стоит, так же учитывать и другие социальные факторы, которые должны быть учтены в конечных значениях корректирующих коэффициентах так, чтобы на уровне портфеля система ценообразования была полностью сбалансирована.

               

Выводы.В данной работе была построена математическая модель для оценки значений базовой страховой нетто-премий и системы корректирующих коэффициентов, с учетом специфики рынка ОСАГО в Украине и применением классических методов оценивания.

Сравнительный анализ полученных значений системы ценообразования с существующими значениями, выявили значимую несбалансированность существующей системы корректирующих коэффициентов, что значимо повышает риск неплатежеспособности по виду ОСАГО как отдельных страховых компаний, так и системы ОСАГО в целом.

С учетом важности ОСАГО как социально-экономического инструмента защиты граждан,

Так же, результаты анализа говорят о необходимости периодического анализа адекватности системы ценообразования ОСАГО и своевременной корректировки, как значений базового страхового платежа, так и значений системы корректирующих коэффициентов.

 

Литература:

1.     Базилевич В.Д. Страхування: Підручник – К.:Знання, 2008. – 1019 с.

2.     Заруба О.Д. Страхова справа. Підручник. - К.: Товариство "Знання", КОО, 1998. - 321 с.

3.     Мак Т. Математика рискового страхования. – М.: Олимп-Бизнес, 2005. – 432 c.

4.     Таркуцяк А. О.: Страхування :Навч. посіб. – К.: Вид-во ЄУНІСМБ, 2000 – 115 с.

5.     Закон України «Про обов'язковестрахуванняцивільно-правовоївідповідальностівласниківназемнихтранспортнихзасобів» від 1 липня 2004 р.  №1961-IV.

6.     Офіційний сайт Моторне (транспортне) страхове бюро України. – Режим доступу: http://www.mtsbu.kiev.ua.

Стаття надійшла до редакції 09.04.2012 р.