УДК 519.865.7
З. М. Гадецька,
к. т. н., доцент, доцент кафедри економічної кібернетики,
Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького, м. Черкаси
Д. Ю. Трунін,
менеджер, «Центр біржових технологій», м. Черкаси
О. П. Орляцький,
спеціаліст кафедри економічної кібернетики,
Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького, м. Черкаси
ЗАСТОСУВАННЯ ХВИЛЬОВОЇ ТЕОРІЇ ЕЛЛІОТА ДЛЯ АНАЛІЗУ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ КУРСУ ФОНДОВОГО ІНДЕКСУ S & P 500
Z. M. Gadetska,
Ph.D., Associate Professor, Associate Professor of the department of economic cybernetics,
Cherkassy Bogdan Khmelnytsky National University
D. U. Trunin,
manager "Center birzhevy technologies", Cherkassy
O. Р. Orlyats`kyy,
specialist of the department of economic cybernetics,
Cherkassy Bogdan Khmelnytsky National University
APPLICATION ELLIOT'S WAVE THEORY FOR ANALYSIS AND FORECASTING OF A RATE OF THE STOCK INDEX S & P 500
В статті розглянуті основи теорії хвиль Елліотта, класифікація стилів та функцій хвиль Елліотта, продемонстровано можливість застосування інструментарію хвильової теорії Елліота для моделювання та прогнозування поведінки фондових ринків, зокрема для аналізу та прогнозування курсу фондового індексу S & P 500.
In the article the basic theory of Elliott Wave, classification of styles and functions Elliott Wave, demonstrated the possibility of using tools Elliott wave theory to for modeling and forecasting the behavior of the stock markets, in particular for the analysis and forecasting of the course of the stock index S & P 500.
Ключові слова: фондовий ринок, хвильова теорія Елліота, фондовий індекс, аналіз, прогнозування, економіко-математична модель.
Keywords: stock market, Elliott wave theory, stock index, analysis, econometric models.
Постановка проблеми. Фондовий ринок є невід’ємним та важливим елементом фінансової системи ринкової економіки. Відтак, становлення ефективного та дієвого фондового ринку є важливим етапом завершення трансформації вітчизняної економіки. Економісти та політики аналізують проблеми розвитку вітчизняного фондового ринку, виявляють бар’єри, що перешкоджають цьому розвитку, шукають можливості, як переорієнтувати фондовий ринок на вирішення нових завдань у процесі економічного розвитку, розробляють заходи економічної політики, спрямовані на усунення перешкод формування високоефективного фондового ринку.
Але протягом останнього десятиріччя як у розвинутих країнах, так і країнах з перехідною економікою, зокрема в Україні, спостерігається суттєве збільшення кількості фінансових криз та їх масштабів. Через якісний перелом ринкових тенденцій ставиться під сумнів можливість використання ретроспективних даних для прогнозування майбутніх значень фінансових часових рядів із застосуванням класичних кількісних підходів. Однією з головних причин тривалого кризового періоду є зростаюча неспроможність широко розповсюджених економіко-математичних методів і моделей адекватно здійснювати аналіз та прогнозування розвитку фінансово-економічних систем, зокрема фондових ринків.
Подібна ситуація, коли визнані методи аналізу та прогнозування перестали відповідати сучасним економічним тенденціям, вимагає необхідності перегляду напряму розвитку економічної науки та, зокрема, теорії економіко-математичного моделювання. Тому є необхідність впровадження в економічну науку та практику нових ідей і методів для вирішення цих проблем. Пропонується здійснювати прогнозування курсу фондового індексу S & P500 із урахуванням закономірностей розвитку ринку, заданих у вигляді нечітких логічних правил, які побудовані на підґрунті теорії хвиль Елліотта.
Хвильова теорія Елліота – математична теорія про те, як поведінка суспільства чи фондових ринків розвивається та змінюється у вигляді моделей, які можна розрізнити. Ця теорія дозволяє спрогнозувати ринкові тенденції на будь-якому часовому проміжку. Автоматизація аналізу фондових ринків на основі теорії Елліота дозволить здійснювати прогноз його розвитку та мати можливість уникати фінансової кризи, що неможливо зробити за допомогою кількісних методів.
Аналіз останніх досліджень та публікацій. Проблемами застосування хвильового принципу Елліотта з метою прогнозування розвитку фінансово-економічних показників досліджували як вітчизняні, так і зарубіжні фахівці, серед яких особливий внесок у вивчення даного питання внесли: Р. Н. Елліотт [5], Ж.М. Харст, Ч. Міллер, Р. Пректерс [4], А. Фрост [4], Д. Сорнетте [1], А. В. Матвійчук [2, 3], О. О. Недосєкіна, Д. Н. Стукалов та інші.
Метою дослідження є аналіз та прогнозування курсу фондового індексу S & P 500 с застосуванням хвильової теорії Елліота.
Виклад основного матеріалу дослідження. Якщо здійснити аналіз причинно-наслідкових зв’язків поведінки фондових ринків як розвинутих країн, так і країн з перехідною економікою, зокрема і України, то можна дійти висновків, що, з одного боку, наслідком відзначених різких коливань фінансових показників є неможливість їх адекватного прогнозування із використанням класичних математичних підходів, таких як методи екстраполяції, середні плинні, експонентне зважування, спектральний аналіз, нейронні мережі. А, з іншого боку, саме зростаюча неспроможність широко розповсюджених економіко-математичних методів і моделей адекватно здійснювати аналіз та прогнозування розвитку фінансово-економічних систем стає однією з головних причин виникнення таких значних криз на фондових ринках. Адже, який інвестор вкладав би кошти в акції, якщо міг би передбачити подальше значне падіння їхнього курсу або виявити значну їх переоцінку, використовуючи методи фінансового аналізу. Теоретично обґрунтовано, що використання подібних підходів для прогнозування фінансових часових рядів мають певні обмеження та низьку точність передбачення напряму зміни курсу досліджуваного показника. А при проведенні інвестиційної діяльності, особливо при укладанні угод на фондовому ринку, величина прибутку значною мірою залежить саме від правильності передбаченого знака зміни курсу цінного паперу, адже гравець фондового ринку отримує прибуток здебільшого від гри на пониження-підвищення [1].
Враховуючі вищесказане та враховуючи неспроможність розповсюджених нині економіко-математичних методів здійснювати адекватний аналіз та прогнозування (що стало однією із головних причин виникнення такого значного та тривалого кризового періоду на розвинутих фондових ринках), пропонується застосувати для аналізу та прогнозування фондових ринків хвильову теорію Елліота та інструментарій нечіткої логіки, як такий, що надає можливість здійснювати моделювання будь-яких соціально-економічних систем. Доведено, що моделі, побудовані на хвильовій теорії Елліота та нечіткій логіці є адаптивними до мінливих умов економіки та не вимагають дотримання гіпотези про нормальний розподіл або статистичну однорідність відповідних випадкових процесів, що особливо важливо у сучасних умовах світової економіки, зокрема, української [2, 3].
Головне відкриття Ральфа Н. Елліотта полягало в тому, що поведінка учасників біржової гри підкоряється характерним законам. На його думку, соціально-масова психологічна поведінка послідовно проходить стадії експансії, ентузіазму й ейфорії, за якими наступають заспокоєння, занепад й депресія. Ця схема відстежується в різних часових інтервалах, починаючи з кількох хвилин і закінчуючи століттями. Зміни масової психології добре помітні у коливаннях цін на товари та послуги, цінні папери, валюти й промислові індекси.
При використанні курсів фондового ринку як основного інструмента дослідження, Елліотт визначив, що їхня траєкторія виписує деякий структурований рисунок та що ціни на них розвиваються за певною моделлю. Елліотт ідентифікував тринадцять моделей руху, які він назвав "хвилями", що постійно виникають у потоці ринкових цін і повторюються за формою, але не обов'язково за часом чи амплітудою. Хвильовий принцип Елліота передбачає, що рух ринкових цін приймає форму хвиль визначеної структури. Кожному періоду руху ринку відповідає певний напрямок зміни цін – ріст або падіння. За своєю сутністю хвильовий принцип – це каталог цінових моделей і пояснення того, де і як ці моделі можуть зустрічатися в циклі ринкового розвитку.
Описи Елліотта складають набір винайдених емпіричним шляхом правил і принципів інтерпретації ринкового розвитку, що отримали його ім'я – "Закон хвиль Елліотта" [5]. За «Законом хвиль» кожне ринкове рішення є і наслідком значимої інформації, і породжує значиму інформацію. Кожна транзакція входить у структуру ринку, будучи одночасно і наслідком, і, через передачу транзакційних даних інвесторам, одним з мотивів поведінки останніх. Цей процес породжує деякі визначені фігури (forms). Оскільки фігури повторюються, то, за Елліоттом, вони мають прогностичне значення. Як зазначав Елліотт, рух ринку відображає структуровану послідовність, що розкривається в так званих хвилях, які є моделями спрямованого руху.
Розвиток ринкових цін у кінцевому рахунку приймає фігуру п'яти хвиль особливої структури. Три з них, що позначені цифрами 1, 3 і 5, як показано на рисунку 1, роблять спрямований рух. Вони розділяються двома відкотами – хвилями протилежного напрямку, що позначені цифрами 2 і 4. Ці два відкоти, безсумнівно, є невід'ємною частиною загального спрямованого руху. У своїй книзі 1938 року "Закон хвиль" [5] Р. Н. Елліотт показав, що фондовий ринок розвивається згідно із базисним ритмом або у відповідності до моделі з п'яти хвиль вгору і трьох хвиль вниз, формуючи повний цикл із восьми хвиль. Восьмихвильова модель є базисною фігурою руху ринку, а всі інші моделі можуть бути утворені з неї.
Існують всього два стилі розвитку хвиль: рушійний (motіve) і коригувальний (correctіve). Хвилі рушійного стилю мають п'ятихвильову структуру, в той час як хвилі коригувального стилю характеризуються трьоххвильовою структурою чи її різновидами. Рушійний стиль є основою і п'ятихвильової структури, і її односпрямованих компонентів, тобто хвиль 1, 3 і 5. Коригувальний стиль лежить в основі всіх відкотів у протилежному напрямку, що містять у собі хвилі 2 і 4 на рисунку 1. Дані хвилі називаються "коригувальними". Один повний цикл, що складається з восьми хвиль, можна ще представити двома різними фазами: рушійною фазою (яку ще називають "п'ятіркою"), чиї підхвилі (складові хвилі рівнем нижче) позначені цифрами, і коригувальною фазою (також відомої як "трійка"), чиї підхвилі позначені буквами. Послідовність a, b, c коректує послідовність 1, 2, 3, 4, 5 на рисунку 1.
Рис. 1. Базова восьмихвильова модель Елліотта
Після закінчення хвильового циклу, показаного на рисунку 1, починається наступний аналогічний цикл із п'яти хвиль догори, за якими слідують три хвилі вниз. Потім розвивається третій етап руху, що також складається з п'яти хвиль вгору. Цей третій етап закінчує п'ятихвильовий рух одним хвильовим рівнем вище, ніж рівень хвиль, з яких він складається. Результат показаний на рисунку 2 до піка, позначеного (5). На піку хвилі (5) починається рух униз більш високого хвильового рівня, що складається з трьох хвиль. Ці три хвилі верхнього хвильового рівня "коректують" рух п'яти хвиль нагору цього ж рівня. Результатом буде ще один повний цикл, але більш високого хвильового рівня, як показано на рисунку 2. На цьому ж рисунку кожен повноцикловий компонент рушійної хвилі (тобто хвилі 1+2 чи хвилі 3+4) є зменшеною версією всього циклу, тобто хвилями нижчого хвильового рівня.
Рис. 2. Модель із двох хвильових рівнів
Важлива особливість даної структури полягає в тому, що в ній спостерігається виразна тенденція до самоповторення, причому не тільки в часі, але й у просторі – в межах самої себе. Іноді, особливо на трендових ринках, структура ця ясно помітна. На нетрендових же ринках, коли котирування коливаються в невизначеному напрямку, вона може бути зміщена або перекручена, і порядок хвиль у восьмихвильовій моделі порушується.
Рисунок 2 не тільки ілюструє розгорнуту версію фігури, утворену з фігури на рисунку 1, але й показує ту ж фігуру, але більш детально. Ці рисунки демонструють явище незмінної форми усередині завжди мінливого хвильового рівня. Явища форми, хвильового рівня і відносного руху ще більш деталізуються на рисунку 3.
Загальна структура ринкових змін така, що дві хвилі одного хвильового рівня підрозділяються на вісім хвиль більш дрібного хвильового рівня, а ці вісім хвиль діляться в такий же спосіб на тридцять чотири хвилі наступного хвильового рівня. Таким чином, закон хвиль відбиває той факт, що хвилі будь-якого хвильового рівня у будь-якій послідовності завжди можна розділити на хвилі меншого рівня й одночасно вони ж є і компонентами хвиль вищого хвильового рівня.
Будь-яка хвиля може або сприяти розвитку іншої хвилі рівнем вище, або переривати її. Функція хвилі визначається за її відносним напрямком. Діючою хвилею є будь-яка хвиля, що розвивається в тому ж напрямку, що і хвиля одним рівнем вище, частиною якої є перша. Протидіючою хвилею є будь-яка хвиля, що розвивається в протилежному напрямку відносно хвилі одним рівнем вище, частиною якої вона є. Діючі хвилі позначають непарними цифрами і буквами a, c, e, g, і. Протидіючі хвилі позначають парними цифрами і буквами b, d, f, h.
Закон хвиль було б легко застосовувати, якби основні питання, що описані вище, були б повним описом поведінки ринку. Проте в реальному світі вона є набагато складнішою. Потрібне докладне знання конструкцій фігур, перш ніж можна буде побудувати математичну модель ідентифікації та прогнозування розвитку хвиль Елліотта.
Оскільки рушійні хвилі є найбільш визначальними для розвитку ринку та угоди з купівлі-продажу доцільно здійснювати на їх початку, то викладемо далі більш детальний опис і характеристики рушійних хвиль. Рушійні хвилі формуються з п'яти хвиль визначених характеристик і завжди розвиваються в тому же напрямку, що і рух хвилі одним хвильовим рівнем вище. Вони прямолінійні та їх відносно легко можна розпізнати та пояснити. В рушійних хвилях хвиля 2 ніколи не відкочується більш ніж на 100% розміру хвилі 1 і хвиля 4 ніколи не відкочується більш ніж на 100% розміру хвилі 3. Хвиля 3, крім того, завжди просувається далі закінчення хвилі 1. В ціновому вираженні хвиля 3 часто буває найдовшою і ніколи – найкоротшою серед трьох діючих підхвиль рушійної хвилі.
Найпоширенішою рушійною хвилею є імпульс. В імпульсі хвиля 4 не перекриває хвилі 1. Це правило виконується для всіх немаржинальних (без використання позикових засобів) ринків. Ринки ф'ючерсів, з їх високою маржинальністю, можуть приводити до короткочасних сплесків цін, які б не відбувалися на інших ринках. У цьому випадку, перетинання звичайно обмежені денними чи внутрішньоденними змінами ціни і навіть тоді є надзвичайно рідкими. В додаток до цього, діючі підхвилі (хвилі 1, 3 і 5 рівнем нижче) імпульсу самі є рушійними, а підхвиля 3 може бути лише імпульсом. На рисунках 1, 2 і 3 імпульси зображені скрізь в хвильових позиціях 1, 3, 5, a і c.
Рис. 3. Повний ринковий цикл для хвиль трьох рівнів
Багато хвильових імпульсів містять те, що Елліотт назвав хвильовим подовженням (extension). Хвильові подовження – це розтягнуті імпульси з розширеною хвильовою структурою. Величезна кількість імпульсів дійсно містять подовження лише в одній із трьох його діючих хвиль. Той факт, що подовження зазвичай розвиваються тільки в одній діючій підхвилі, дає корисну підказку щодо очікуваних довжин хвиль, що розвиваються. Наприклад, якщо перша і третя хвилі приблизно рівної довжини, п'ята хвиля, ймовірно, буде подовженою. І навпаки, якщо подовжується третя хвиля, то п'ята хвиля, імовірно, буде простої конфігурації і схожою на хвилю 1.
У тих випадках, коли підструктури витягнутої хвилі є майже тієї ж амплітуди та тривалості, що й інші чотири хвилі великого імпульсу, таку послідовність нумерують дев'ятьма хвилями схожого розміру. У дев'ятихвильовій послідовності часом важко сказати, яка саме хвиля витягнута. Як би там не було, це не має значення, оскільки за системою Елліотта структури в дев'ять і в п'ять хвиль мають однакову технічну значимість. Схема на рисунку 4, яка ілюструє хвильові подовження, прояснить дане питання.
Рис. 4. Різні види подовжень на воловому та ведмежому ринках
Часто можна одержати кілька різних інтерпретацій розташування хвиль Елліотта на траєкторії одної і тої ж цінової кривої, особливо, коли поверхневі дослідження індексів виконуються недосвідченими експертами. Суб'єктивізму в ідентифікації хвиль і ключових точок перегину можна уникнути, якщо покласти цей обов'язок на експертну систему, що буде розпізнавати криві розвитку цін на основі встановлених правил. Система повинна також характеризуватись властивістю адаптації та самонавчання на випадок виникнення спірного чи неправильного рішення. Всі специфічні правила розвитку ринку будуть враховані в нечіткій моделі в неявному вигляді після її налаштування на статистичних даних щодо поведінки обраного для аналізу фінансового показника.
Авторами пропонується для прогнозування змін курсів цінних паперів скористатись принципами розглянутої вище хвильової теорії Елліотта [5], яка може надати потужний механізм встановлення набору вирішальних правил для цінових кривих різних часових проміжків. Отже, для цього побудуємо математичну модель прогнозування змін курсів цінних паперів на основі інструментарію нечіткої логіки із використанням нетривіального набору правил розвитку хвиль. Проте, для моделювання фінансових часових залежностей спочатку формалізуємо вхідні та вихідні змінні моделі із урахуванням правил розвитку ринку з теорії хвиль Елліотта.
Елліотт у своєму "Законі природи" відзначав, що відхилення в розвитку хвильових форм можуть відрізнятись як за часом, так і за амплітудою. Таким чином, перед початком роботи системи виникає необхідність у попередній обробці вихідної часової послідовності значень курсу фінансового показника, що прогнозується. Відповідно, при побудові моделі на нечіткій логіці необхідно здійснити перетворення послідовності абсолютних значень цін, які характеризують напрями зміни курсу та їхні відносні величини.
Елліотт також зазначав, що окремі хвилі навряд чи завжди будуть розвиватися в регулярних формах з хвильової теорії. Тому розроблену модель, яка описує дані форми, необхідно налаштувати на реальних даних з метою підвищення точності прогнозу. При здійсненні налаштування моделі відбувається оптимізація її параметрів шляхом мінімізації відхилень між прогнозованими та реальними даними на всій представленій часовій вибірці.
В статті пропонується операції купівлі-продажу здійснювати якраз на піках хвиль вищих рівнів через необхідність врахування транзакційних видатків. Так, якщо навіть правильно передбачати незначні зміни курсів цінних паперів і при кожній зміні здійснювати відповідні угоди, то на витратах по проведенню операцій купівлі-продажу можна більше втратити, ніж виграти. Тому ці операції і планується проводити перед прогнозованими значними змінами курсів, щоб очікуваний виграш міг покрити затрати.
Авторами була зроблена спроба розробити економіко-математичну модель прогнозування змін фінансових показників на базі розглянутих вище закономірностей та побудувати систему розпізнавання поточної позиції ринку на хвильовій кривій із отриманням відповідного прогнозу подальшого розвитку. Оскільки математична модель має лише вісім входів, на які подаються дані про попередній розвиток курсу, то починаючи з дев'ятої хвилі модель буде однаковим чином обробляти всі наступні показники зміни ціни, незважаючи на поточну позицію в імпульсі, що розвивається. Це пояснюється тим, що втрачається прив'язка до початку розвитку даного імпульсу. В принципі, це є нормальним явищем, оскільки система, скоріше за все, видасть рішення про необхідність купівлі цінних паперів для спадаючого тренду або їхнього продажу для зростаючого тренду вже після п'ятої чи дев'ятої хвилі.
Прогноз про початок рушійної хвилі з урахуванням даних витрат можна робити після третьої коригувальної хвилі. Через те, що третя підхвиля в рушійному імпульсі зазвичай є найдовшою і часто містить подовження, то в разі укладання угоди з купівлі-продажу цінних паперів на початку розвитку третьої підхвилі виникає значний потенціал для отримання прибутку. В такому разі прогноз можна також давати в кінці розвитку другої підхвилі на воловому ринку. Якщо в розвитку курсів цінних паперів відбулось усікання п'ятої хвилі, то обробку такої ситуації будемо проводити аналогічно до інших хвильових форм.
Суб'єктивності при розпізнаванні хвильових форм можна уникнути, якщо передоручити цей процес комп'ютеру. А якщо прогнозування проводити із використанням побудованої експертної системи, що володіє можливістю адаптації у відповідності до реальних фінансових часових рядів, то можна ще більше підвищити точність логічного висновку.
На основі побудованої економіко-математичної моделі, було розроблено систему прогнозування змін фінансово-економічного показника. В якості статистичного матеріалу для моделювання розвитку фінансових часових рядів було обрано індекс S&P 500, оскільки подібні цінні папери біржового фонду являють собою активи диверсифікованого портфеля, сформованого із відомих та надійних фінансових інструментів, що покладені в розрахункову основу даного індексу. Графік індексу S & P 500 показує середній рух вартості акцій 500 найбільш великих корпорацій. [6]. У першу чергу S & P500 створений для оцінки американської економіки, і на основі його показників приймаються рішення про купівлю або продаж базового активу. Але фондовий ринок України сильно залежить від змін економіки США. Більшість українських трейдерів надають американському індексу S & P500 величезне значення, вносячи його до списку головних індикаторів для інвестицій поряд з курсом долара, ціною на нафту і показником індексу Європи (в першу чергу німецький індекс DAX). Індекс S & P500 дає додаткову можливість інвесторам захеджирувати портфель, що, в свою чергу, дозволяє знизити рівень цінового ризику. Також за допомогою S & P500 деякі трейдери здійснюють роботу спекулятивно, тобто заробляють на рухах ринку. Виходячи з багаторічної практики та обсягів за ф'ючерсними контрактами на індекс S & P500, він є найбільш ліквідним інструментом серед всіх світових індексів.
Відповідно до розробленої підходу з'являється можливість формування набору базових правил для аналізу і прогнозування змін фінансово-економічних показників, зокрема фондового індексу S & P500, на основі широко відомих принципів розвитку економічних систем із теорії хвиль Елліотта.
Висновки. В роботі проаналізовано методологічні основи застосування теорії хвиль Елліота в моделюванні поведінки фондових ринків. Це надало можливість проведення ідентифікації фінансових часових залежностей та прогнозування розвитку фінансово-економічних показників у відповідності до встановленого набору правил з теорії хвиль Елліотта. Продемонстровано можливість застосування хвильового принципу Елліотта для прогнозування розвитку фінансово-економічних показників, зокрема фондового індексу S & P 500, шляхом ідентифікації в ціновій кривій відомих хвильових форм. Показано, що подібний підхід є ефективним як для довгострокового, так і короткострокового прогнозування.
Література.
1. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков: критические события в комплексных финансовых системах / Д. Сорнетте. – М.: Интернет-трейдинг, 2003.– 400 с.
2. Матвійчук А. В. Моделювання економічних процесів із застосуванням методів нечіткої логіки / А. В. Матвийчук. – К.: КНЕУ, 2007.– 264 с.
3. Andriy Matviychuk. Fuzzy logic approach to identification and forecasting of financial time series using Elliott wave theory / Matviychuk Andriy // Fuzzy economic review.– 2006.– November.– Vol. XI.– Num. 2.– P. 51-68
4. Пректер Р., Фрост А. Волновой принцип Эллиота. Ключ к пониманию рынка / Р. Пректер, А. Фрост. – М.: «Альпина Паблишер», 2012. – 270 с.
5. Эллиот Р.Н. Закон волн. Первооткрыватель, 1938 г. / [Електронний ресурс] Р.Н. Элиот. – Режим доступу: http://awfx.narod.ru/Download/ The_Wave_Principle_ by_Elliott_discoverer_1938_rus.pdf
6. Фондовый Индекс S&P 500 [Електронний ресурс] Режим доступу: http://www.daytrader.com.ua/ indexes/sp_500.html
References.
1. Sornette, D. (2003), Kak predskazyvat' krahi finansovyh rynkov: kriticheskie sobytija v kompleksnyh finansovyh sistemah [How to predict the collapse of the financial markets: the critical events in complex financial systems], Internet-trejding, Moskva, Rossija.
2. Matvijchuk, A. V. (2007), Modeliuvannia ekonomichnykh protsesiv iz zastosuvanniam metodiv nechitkoi lohiky [Modeling of economic processes using fuzzy logic methods], KNEU, Kyiv, Ukraina.
3. Matviychuk, А. (2006), “Fuzzy logic approach to identification and forecasting of financial time series using Elliott wave theory”, Fuzzy economic review, vol. XI.– Num. 2., pp. 51-68.
4. Prekter, R. and Frost, A. (2012), Volnovoj princip Jelliota. Kljuch k ponimaniju rynka [Elliott Wave Principle. The key to understanding the market], Alpina Pablisher, Moskva, Rossija.
5. Jelliot, R.N. (1938), “The Wave. discoverer, 1938 g.”, available at: http://www.economy.nayka.com.ua (Accessed 26 Jan 2015).
6. The stock index S & P 500, available at: http://www.daytrader.com.ua/ indexes/sp_500.html (Accessed 26 Jan 2015).
Стаття надійшла до редакції 29.01.2015 р.
ТОВ "ДКС Центр"