Українською | English

BACKMAIN


УДК 303.519.7

 

А. В. Гейлик,

к. пед. н., доцент кафедри математики

Київської державної академії водного транспорту ім. Петра Конашевича-Сагайдачного

 

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ РОЗПОДІЛУ ІНВЕСТИЦІЙ

 

A. V. Geilyk,

Ph.D., Associate Professor, Department of Mathematics,

Kyiv State Maritime Academy after Hetman Petro Konashevich-Sahaydachniy

 

MATHEMATICAL MODEL OF OPTIMAL INVESTMENT MANAGEMENT DIVISION

 

У статті розглянуто математичну модель цільового функціоналу оптимального управління інвестиціями за певний проміжок часу. Встановлений зв'язок між основними виробничими фондами та інвестиціями. Сформовано задачу оптимального управління в загальному вигляді та математичний метод її розв’язання.

Зосереджена увага на розв’язанні задач розподілу інвестицій за нормальним законом розподілу, що дозволило окреслити ряд задач. Запропоновані задачі дають відповідь на запитання: необхідності інвестицій за певний проміжок часу, для того щоб основний фонд визначався нормальним законом розподілу; розрахунок значення цільового функціоналу, який визначається якістю змін основних виробничих фондів на певному інтервалі часу, при знайденій функції інвестицій; збільшення об’єму інвестицій у кінцевий момент часу для відтворення основних виробничих фондів нормальної залежності.

 

In the article the mathematical model of optimum target Investment Management functionality over time. The relationship between basic production assets and investments. Formed optimal control problem in general and mathematical method to solve it.

Focus on solving problems of distribution of investments by normal distribution, which allowed the outline a number of problems. The proposed task answer the questions: necessity of investment over time, in order to fund basic determined normal distribution; calculation of the target functional defined quality changes of fixed assets at a certain time interval, the functions found investment; increase the volume of investments in the final time to play normal fixed assets addiction.

 

Ключові слова: математичне моделювання, розподіл інвестицій, оптимальне управління, цільовий функціонал, управління організаційними системами.

 

Keywords: mathematical modeling, investment allocation, optimal control, target functionality, management of organizational systems.

 

 

Постановка проблеми. Ефективність економіки залежить від продуктивності господарських одиниць, взаємовідносин між ними та впливу зовнішнього середовища. Ця залежність виражається стійкими кількісними закономірностями, отже, може бути представлена математичними моделями.

В даний час досить важливим і актуальним є питання про практичну значимість математичних методів для вирішення різних економічних завдань.

Помилки в управлінні складними, дорогими або навіть унікальними економічними системами мають надзвичайно високу ціну. Для виключення або, щонайменше, зниження ризику виникнення таких помилок неминуче доводиться вдаватися до використання математичних моделей, які виражають в математичній формі весь спектр істотних співвідношень між різними кількісними характеристиками і параметрами керованих систем. Іншими словами, математична модель являє собою математичний опис досліджуваних систем, процесів або явищ. Завдання управління, що спираються на грамотно побудовані математичні моделі, призводять до достовірних, прийнятних для практичного застосування результатів, однак є досить складними, і для їх вирішення, як правило, не існує простих рецептів і явних формул. Тим самим об'єктивно виникає потреба в розробці спеціальних математичних методів вирішення поставлених завдань.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. Вивченню проблем математичного моделювання присвячено достатньо праць вітчизняних і зарубіжних авторів. Так, наприклад, О. Н. Ломкова, А. А. Эпов [6], О.Т. Іващук [3], В.В. Вітлінський [2] описують основні економіко-математичні методи і моделі, комерційної діяльності та вибору управлінських рішень, розглядають виробничі множини і виробничі функції. Праці Вороніна О. О., Губка М. В., Мішина С. П., Новікова Д. О. [1] містять необхідні і використовувані при побудові моделей функціонування організацій відомості з теорії прийняття рішень, у тому числі в умовах природної та ігровий невизначеності. Заболотский В.П., Оводенко А.А., Степанов А.Г [4], Сердюк В.Б.[7], розглядають теоретичні основи застосування математичних моделей в управлінні організаційними системами, методи структурованого та функціонального моделювання організаційних систем. Казаков О.Л., Царькова Н.И. [5] розглядають методи оптимального управління в економіці, та методики їх практичного застосування. Однак більш глибоко математичного аналізу потребують питання впливу інвестицій на основний виробничий фонд підприємства протягом певного інтервалу часу.

Метою статті є дослідження математичних моделей цільового функціоналу оптимального управління інвестиціями за певний проміжок часу.

Розглянемо виробничо-технологічну схему економіки представлену у роботі Козакова О.Л. [5].

За цією схемою зростання основних виробничих фондів  відбувається за рахунок інвестицій . Причому частина цих інвестицій являє собою амортизаційні відрахування :

 

,                                                                                           (1)

 

де ,     - коефіцієнт амортизації.

А капітальні вкладення  пропорційні приросту основних виробничих фондів :

 

                                                                                              (2)

 

Останнє співвідношення враховує послідовне введення в дію інвестицій. У сукупності всі ці співвідношення представляють наступну залежність:

 

 

Або

 

.                                                       (3)

 

Отримане диференціальне рівняння (3) описує зв'язок між основними виробничими фондами та інвестиціями . Якщо вважати основний виробничий фонд  - майновим станом, а інвестиції - управлінням, то можна сформулювати постановку задачі оптимального управління розподілом інвестицій [6].

Нехай інтервал часу управління  буде тривалістю від початкового моменту часу по кінцевий момент часу.

Майновий стан описується функцією , а управління - функцією інвестицій .

Тоді початковий майновий стан являє собою величину, а допустиме управління обмежується мінімальною і максимальною величинами можливих інвестицій :

 

.                                                                                            (4)

 

В якості зв’язку майнового стану  і управління інвестиціями будемо використовувати співвідношення (3)

Цільову функцію від функції управління і від функції майнового стану представимо у вигляді:

 

                                                          (5)

 

де  і  - вагомі коефіцієнти,

 - установчі пріоритети вимог складових цілі управління.

Економічний сенс представленого цільового функціоналу розкривається при розгляді наступних крайніх випадків [4]:

- при і цільовий функціонал відображає мінімізацію сумарного (інтеграл) витрачання інвестицій, тобто максимально економного розподілу інвестицій;

- при і цільовий функціонал прагне максимізувати величину інвестицій до кінця періоду управління.

Таким чином, в цільовому функціоналі закладені дві протилежні вимоги, досягнення однієї і тієї ж мети - оптимальному управлінню розподілом інвестицій для досягнення оптимального стану .

Розглянемо задачу оптимального управління в загальному виді, для цього ведемо позначення:

 - стан економічної системи в момент часу ,

 - управління економічною системою в момент часу .

Тоді в загальному вигляді задача оптимального управління набуде вигляду: період управління , майновий стан , управління , початковий майновий стан, допустиме управління, рівняння руху ,  цільовий функціонал

 

.                        (6)

 

Розв’язанням такого завдання оптимального управління є обраний вид функції управління, для якого на всьому періоді управління виконується умова допустимого управління і за рівнянням руху інтерполюється вид функції майнового стану. Тоді оптимальним розв’язанням цієї задачі будуть такі функції управління і майнові стани, які забезпечують задане екстремальне (або) значення цільового функціоналу [5].

Розглянемо математичний метод розв’язання такої задачі.

Переставимо рівняння руху як однорідне диференціальне рівняння, маємо:

 

.                                                                  (7)

 

Тоді отриману задачу оптимального управління, можна представити задачею безумовної оптимізації за допомогою методу множників Лагранжа. Для цього вводимо функцію Лагранжа   та складемо функцію Лагранжа з цільового функціонала задачі оптимального управління і його однорідного рівняння руху:

 

 

Розглянемо декілька прикладів побудови математичної моделі за експоненційним законом розподілу інвестицій.

Приклад 1. Які потрібні інвестиції  на інтервалі часу для того щоб основні виробничі фонди визначались залежністю  Розв’язання:

Використаємо рівняння руху:

 

.

 

Похідна функції основних виробничих фондів:

 

.

 

Підставимо в рівняння руху:

 

.

 

Знаходимо функцію інвестицій:

 

 

Відповідь:

 

Приклад 2. Розрахуйте значення цільового функціоналу, який визначається якістю змін основних виробничих фондів на інтервалі часу , при знайденій в прикладі 1 функції.

Розв’язання:

 

 

Відповідь:

Приклад 3. У скільки разів потрібно збільшити об’єм інвестицій  у кінцевий момент часу  відносно початкового моменту  для того, щоб відтворення основних виробничих фондів визначалося залежністю ?

Розв’язання:

Функція інвестицій (див. приклад 1) при :

 

 

Функція інвестицій (див. приклад 1) при :

 

 

Тоді

 

 

Відповідь:

Приклад 4. У скільки разів потрібно зменшити інвестиції  для того, щоб основні виробничі фонди зменшилися з  до  у задачі оптимального управління розподілу інвестицій?

Розв’язання:

При  функция інвестицій (див.приклад 1)

 

 

При  функція інвестицій визначається наступним чином:

Використовуючи рівняння руху:

 

.

 

Виробнича функція:

 

 

Підставимо в рівняння руху:

 

.

 

Виразимо функцію інвестицій:

 

 

Потрібно зменшити інвестиції в таку кількість разів:

 

 

Відповідь:

Висновки. Таким чином, постановка задачі оптимального управління розподілу інвестицій зводиться до встановлення періоду управління (початкового і кінцевого моментів часу), до визначення, що буде майновим станом (основний виробничий фонд) та управлінням (інвестиціїї), до завдання початкового стану (обсягу виробничого в початковий момент часу періоду управління) і меж зміни управління (мінімального і максимального обсягів інвестицій), до аналітичного опису зв'язку (рівняння руху) майнового стану (основного виробничого фонду) і управління (інвестиції), і нарешті, до вибору показника оптимальності (цільового функціоналу).

Поставлена задача оптимального управління розподілом інвестицій є однією з математичних моделей розвитку економіки.

 

Список використаних джерел.

1. Воронин А. А., Губко М. В., Мишин С. П., Новиков Д. А. Математические модели организаций. — М.: ЛЕНАНД, 2008. —360 с.

2. Економіко-математичне моделювання: Навч. посібник / За заг. ред. В. В. Вітлінського. — К.: КНЕУ, 2008. — 536 с.

3. Економіко-математичне моделювання: Навчальний посібник / За ред. О. Т. Іващука. – Тернопіль: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. – 704 с.

4. Заболотский В.П., Оводенко А.А., Степанов А.Г. Математические модели в управлении / СПбГУАП. СПб., 2001. – 196с.

5. Казаков О.Л., Царькова Н.И. Теория оптимального управления. - М.: МГИУ, 2009, - 148 с.

6. Ломкова Е. Н., Эпов А. А. Экономико-математические модели управления производством (теоретические аспекты) / ВолгГТУ, Волгоград, 2005. – 67 с.

7. Сердюк В.Б. Застосування економіко-математичних методів до розв’язання економічних задач / В.Б. Сердюк // вісник соціально-економічних досліджень. - № 1(52). – 2014. – с. 69-73.

 

References.

1. Voronin A. A., Gubko M. V., Mishin S. P. and Novikov D. A. (2008) Matematicheskie modeli organizacij. [Mathematical models of organizations], LENAND, Moscow, Russia

2. Vitlins'kyj V. V.(2008) Ekonomiko-matematychne modeliuvannia [Economic mathematical modeling:], KNEU, Kyiv, Ukraine.

3. Ivaschuka O. T. (2008) Ekonomiko-matematychne modeliuvannia [Economic mathematical modeling] TNEU «Ekonomichna dumka», Ternopil', Ukraine.

4. Zabolotskij V.P., Ovodenko A.A. and Stepanov A.G.(2001) Matematicheskie modeli v upravlenii [Mathematical models in management], SPbGUAP, Saint-Petersburg, Russia

5. Kazakov O.L.and Car'kova N.I. (2009) Teorija optimal'nogo upravlenija [Optimal control],MGIU, Moscow, Russia

6. Lomkova E. N. and Jepov A. A. (2005) Jekonomiko-matematicheskie modeli upravlenija proizvodstvom (teoreticheskie aspekty) [Economic-mathematical model of production management (theoretical aspects)], VolgGTU, Volgograd, Russia

7. Serdiuk V.B. (2014) “The use of economic and mathematical methods to solve economic problems” , Visnyk sotsial'no-ekonomichnykh doslidzhen’, vol.1(52), pp. 69-73.

 

Стаття надійшла до редакції 08.11.2015 р.

 

bigmir)net TOP 100

ТОВ "ДКС Центр"